题目

已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，点P为椭圆短轴的端点，且△PF1F2的面积为2． (1)求椭圆的方程； (2)点Q是椭圆上任意一点，A(4，6)，求|QA|－|QF1|的最小值； (3)点B是椭圆上的一定点，B1，B2是椭圆上的两动点，且直线BB1，BB2关于直线x＝1对称，试证明直线B1B2的斜率为定值． 答案：解：(1)由题意可知c＝， S△PF1F2＝|F1F2|×b＝2， 所以b＝2，求得a＝3， 故椭圆的方程为＋＝1． (2)由(1)得|QF1|＋|QF2|＝6，F1(－，0)，F2(，0)． 那么|QA|－|QF1|＝|QA|－(6－|QF2|)＝|QA|＋|QF2|－6， 而|QA|＋|QF2|≥|AF2|＝＝9，所以|QA|－|QF1|的最小值为3． (3)设直线BB1的斜率为k，因为直线BB1与直线BB2关于直线x＝1对称，所如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．     （1）求证：PB是⊙O的切线；     （2）求证： AQ·PQ= OQ·BQ；      （3）设∠AOQ=．若cos=．OQ= 15．求AB的长