题目

（本小题满分12分） 定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x,x∈R，都有f()≤［f(x］，则称函数f(x)是R上的下凸函数. 已知二次函数f(x)= x+x(∈R, ≠0). （1）求证：当＞0时，函数f(x)是下凸函数. （2）如果x∈［0,1］时，|f(x)|≤1都成立，试求实数的范围. 答案：（1）对任意x＞0,∴［f(x)+ f (x)］-2 f(［()］=x≥0. ∴f(≤［f ］. ∴函数f(x)是凹函数; （5分） (2)由| f(x)|≤1-1≤f(x) ≤1 -1≤+x≤1.(*) 当x=0时，∈R;当x∈(0,1］时，(*)即 即∵x∈(0,1］,∴≥1.∴当=1时，-(+)-取得最大值是-2；当=1时，(-)-取得最小值是0. ∴-2 ≤≤0 ,结合≠0，得-2≤＜0.综上，的范围是［-2,0).（12分）11．故事影片所展现的楼房倒塌场面中，砸在人们身上的“混凝土”是用密度很小的材料制成的道具，机器的底座一般都是用密度很大的材料制成．