题目

已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论. 答案：解析：∵f(n)=f(n-1)+lgan-1,令n=2,则f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又f(1)=-lga,∴∴f(n)=(n2-n-1)lga.证明：（1）当n=1时，显然成立.（2）假设n=k时成立，即f(k)=(k2-k-1)lga,则n=k+1时，f(k+1)=f(k)+lgak=f(k)+klga=(k2-k-1+k)lga=［(k+1)2-(k+1)-1］lga.∴当n=k+1时，不等式成立.综合（1）、（2），可知存在实数α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn2+βn-1)lga对任意n设函数，若对于任意都有，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．