题目

 （本小题满分14分）设函数f (x)满足f (0) =1，且对任意，都有f (xy+1) = f (x) f (y)－f (y)－x+2．(I)       求f (x) 的解析式；(II)   若数列{an}满足：an+1=3f (an)－1(n ?? N*)，且a1=1，求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)求数列{an}的前n项和Sn． 答案：(Ⅰ)   (Ⅱ) an = 2×3n－1－1（Ⅲ）3n－n－2 解析:(I) ∵ f (0) =1．     令x=y=0得 f (1) = f (0) f (0)－f (0)－0+2=2        再令y=0得，     所以   5分 (II) ∵，∴an+1=3f (an)－1= 3an+2,      ∴an+1+1=3(an+1），       又a1+1=2，∴数列{an+1} 是公比为3的等比数列          ∴an +1= 2×3n－1 ，即an = 2×3n－1－1   14．在探究“固体熔化时温度的变化规律”实验中，某实验小组的同学根据测得的数据绘制了如图所示的图象．（1）由图象可看出该物质是晶体，它的熔点为0℃，它在第2min末该物质处于固液共存状态（选填“固态”、“液态”或“固液共存状态”）．（2）比较图中AB段和CD段可知，AB段需要吸热，温度一直升高，物质处于固体状态；CD段需要吸热，温度一直升高，物质处于液体状态．（3）该物质熔化过程为BC段，用了4min，特点是不断吸热，温度保持不变．