题目

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是. （Ⅰ）求双曲线C的方程； （Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）设双曲线的方程为（）．由题设得 ，解得，所以双曲线方程为． （Ⅱ）设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得． 此方程有两个不等实根，于是，且．整理得． ③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ，． 从而线段的垂直平分线方程为． 此直线与甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75。的方向航行；乙以12海里/时的速度向南偏东15。的方向航行，计算它们出发1.5小时后两船的距离。