重庆市各中校2020-2021学年高一下学期数学月考试题含详解

下列说法错误的是（ ）

A ．向量 与向量 长度相同

B ．单位向量并不全相等

C ．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小

D ．与向量 共线的向量，均可以用 表示，其中

如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）

A ．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B ．一个六棱柱中挖去一个棱锥

C ．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D ．一个六棱柱中挖去一个圆台

已知某三角形的三边长分别是 2 ， 4 ， 5 ，则三角形是（    ）

A ．锐角三角形 B ．直角三角形

C ．钝角三角形 D ．无法判断

梯形 ABCD 中， AB =3 DC ， ，设向量 ，则向量 = （    ）

A ． B ．

C ． D ．

已知向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

如图所示，矩形 ABCD 中， AB =2 ， AD =1 ， M ， N 分别为 CD ， BC 的中点，则向量 在向量 上的投影向量的模为（ ）

A ． 3 B ． C ． D ．

如图所示，一船自西向东匀速航行，上午 时到达灯塔 的南偏西 ，距灯塔 海里的 处，下午 时到达这座灯塔的东偏南 方向的 处，则此船航行的速度为（ ）海里每小时 .

A ． B ． C ． D ．

如图所示 ABCD ， ， EG 与 FC 交于点 M ，则 （ ）

A ． B ． C ． D ．

已知 （ i 为虚数单位， 为 z 的共轭复数），则复数 在复平面内对应的点在（ ）

A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

若 m ， n 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）

① ； ② ； ③ ； ④ .

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个

已知 是平面内两个夹角为 的单位向量，设 为同一平面内的两个向量，若 ，则 的最大值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

如图， A ， B 是半径为 1 的圆周上的定点， P 为圆周上的动点， ∠ APB 是锐角，大小为 . 图中 △ PAB 的面积的最大值为（ ）

A ． +sin2 B ． sin + sin2

C ． +sin D ． +cos

如图，在棱长均为 1 的正三棱柱 中， 分别为线段 ， 上的动点，且 平面 ，则这样 的有（ ）

A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条 D ．无数条

在梯形 中，已知 ，且 ，设点 为 边上的任一点，则 的最小值为（ ）

A ． B ． C ． 3 D ．

已知四棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ， ，二面角 的余弦值为 ，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）

A ． 2 是 f ( x ) 的最小正周期 B ． f ( x ) 是奇函数

C ． f ( x ) 是偶函数 D ．点 是 f ( x ) 的一个对称中心

△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，以下选项为真命题的是（ ）

A ．若 tan A ≥tan B ，则 sin A ≥sin B

B ．若 sin A <cos B ，则 △ ABC 为钝角三角形

C ．

D ．向量 与向量 的夹角是

中， 为边 上的一点，且满足 ，若 为边 上的一点，且满足 ，则下列结论正确的是（ ）

A ． B ． 的最大值为

C ． 的最小值为 D ． 的最小值为

△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ，则 a ， b ， c 的值可能是（ ）

A ． 2 ， 3 ， 4 B ．

C ． D ．

已知复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点为 ，复数 满足 ，则下列结论正确的是（ ）

A ． 点的坐标为 B ． （ 为 的共轭复数）

C ． 的最大值为 D ． 的最小值为

是两个平面， 是两条直线，下列四个命题中错误的是（ ）

A ．若 ，则 B ．若 ，则

C ．若 ，则 D ．若 ，则

已知 的内角 所对边的长分别为 ， ， ， ，若满足条件的 有两个，则 的值可以是（ ）

A ． B ． C ． D ．

已知 的内角 所对边的长分别为 ，已知 为 的外心， ， 的面积 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

水平放置的 ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 ，其中 ， ，则 面积为 __ ．

已知向量 ，则 ___________.

△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， A = ， C = ，且 △ ABC 的面积为 ，则 ___________.

已知平面向量 ，满足 ，且 ，则 的最大值为 ___________.

设复数 ， 满足 ， ，则 =__________.

在 中，若 ，角 B 的平分线 BD 交 AC 于 D ，且 ，则 的面积是 _______ ．

在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，则 的最小值为 __________ ．

如图，在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD ＝ AB ， ∠ BCD ＝ 45° ， ∠ BAD ＝ 90° ，将 △ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，构成三棱锥 A ﹣ BCD ，则在三棱锥 A ﹣ BCD 中，下列判断正确的是 _____ ．（写出所有正确的序号）

① 平面 ABD ⊥ 平面 ABC

② 直线 BC 与平面 ABD 所成角是 45°

③ 平面 ACD ⊥ 平面 ABC

④ 二面角 C ﹣ AB ﹣ D 余弦值为

已知 、 、 .

（ 1 ）求 的大小；

（ 2 ）设向量 、 ，若向量 与 垂直，求实数 的值 .

已知函数 .

（ 1 ）求 的值；

（ 2 ）当 ，求 f ( x ) 的增区间 .

在锐角 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a sin2 B = b sin A .

（ 1 ）若 a =3 ， b = ，求 c ；

（ 2 ）求 的取值范围 .

直三棱柱 中，已知 AB = AC =1 ， ∠ ABC = ，该三棱柱的高为 2.

（ 1 ）求三棱柱 的体积；

（ 2 ）将两块形状与该三棱柱完全相同的木料按如图所示两种方案沿阴影面进行切割，把木料一分为二，留下体积较大的一块木料 . 根据你所学的知识，请判断采用哪一种方案会使留下的木料表面积较大，并求出这个较大的表面积和说明理由 .

如图所示平面四边形 ABCD ， AB =2 ， AD = DC =1 ， E 是线段 BD 上一点 .

（ 1 ）若 ∠ BAD = ， AE 平分 ∠ BAD ，求 AE 的长；

（ 2 ）若 BC =1 ， △ ABD ， △ BCD 面积依次为 ，求 的最大值 .

已知平面直角坐标系中，点 A ( a ， 0) ，点 B (0 ， b )( 其中 a ， b 为常数，且 ab ≠0) ，点 O 为坐标原点 .

（ 1 ）设点 P 为线段 AB 上靠近 A 的三等分点， ，求 的值；

（ 2 ）如图所示，设点 是线段 AB 的 n 等分点，其中 ，

① 当 n =2020 时，求 的值 ( 用含 a ， b 的式子表示 ) ；

② 当 a = b =1 ， n =10 时，求 的最小值 .

( 说明：可能用到的计算公式： .

设 是虚数 是实数，且 ．

（ 1 ）求 的值及 的实部的取值范围．

（ 2 ）设 ，求证： 为纯虚数；

（ 3 ）求 的最小值．

已知锐角 的内角 所对的边分别 ，角 ．

（ 1 ）若 是 的平分线，交 于 ，且 ，求 的最小值；

（ 2 ）若 的外接圆的圆心是 ，半径是 1 ，求 的取值范围．

的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ．

（ 1 ）求 的大小；

（ 2 ）若 为锐角三角形，求函数 的取值范围；

（ 3 ）现在给出下列三个条件： ① ； ② ； ③ ，试从中再选择两个条件以确定 ，求出所确定的 的面积．

已知三棱锥 中， ， ， ， 为等边三角形，平面 平面 ， 为 的中点

（ 1 ）求证： 平面 .

（ 2 ）若 为 的中点，求三棱锥 的体积 .

（ 3 ）（只理科做）求二面角 的正弦值 .

如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面 为直角梯形， ， ， ， ，点 ， 分别在线段 和 上，且 ．

（ 1 ）求证： 平面 ；

（ 2 ）设二面角 为 ．若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 .

如图，已知正方形 的边长为 2 ，点 为正方形内一点 .

（ 1 ）如图 1

（ i ）求 的值；

（ ii ）求 的值；

（ 2 ）如图 2 ，若点 满足 . 点 是线段 的中点，点 是平面上动点，且满足 ，其中 ，求 的最小值 .