题目

在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，-1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F，且=4.（1）求点C的轨迹方程；（2）若，①试确定点F的坐标；②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想. 答案：解：（1）如图，设点C（x,y）(x≠0)、E（xE,0）.F(xF,0)， 由A、C、E三点共线，,xE=，同理由B、C、F三点共线可得xF=.∵=4，∴xE·xF=·=4化简得C的轨迹方程为x2+4y2=4(x≠0).（2）若，①设F（xF,0）,C(xc,yc),∴(xc,yc+1)=-8(xF-xc,-yc),∴xc=xF,yc=,代入x2+4y2=4得xF=±,∴点F（±3，0），即为椭圆的焦点.②猜想：取F（，0），设F1（-，如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2=49，②x-y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的结论有 ．