已知函数f（x）=logm （m＞0且m≠1），（I）判断f（x）的奇偶性并证明；（II）若m= ，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）；（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1）， ]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：解：（Ⅰ）f（x）是奇函数；证明如下：由 x−3x+3>0 解得x＜-3或x＞3，所以f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），关于原点对称． ∵ f(−x)=logm−x−3−x+3=logmx+3x−3 = logm(x+3x−3)−1=−f(x) ，故f（x）为奇函数/ （Ⅱ）任取x1，x2∈（3，+∞）且x1＜x2，f(x1)−f(x2)=logmx1−3x1+3−logmx2−3x2+3 = logm(x1−3