广东省2021-2022学年九年级上学期第一次质检数学试题含解析

下列方程中，是一元二次方程的是（　　）

A ． x ² ﹣ 9 ＝ 0 B ． x ＝ C ． x ² +2 x ﹣ 3 y ＝ 0 D ． ax ² + bx + c ＝ 0

已知 y ＝ 0 是关于 y 的一元二次方程（ m +1 ） y ² + my +4 m ² ﹣ 4 ＝ 0 的一个根，那么 m 的值是（　　）

A ． 0 B ． 1 C ．﹣ 1 D ． ±1

顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是

A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形

根据下列表格对应值：

判断关于 x 的方程 ax ² + bx + c ＝ 0 （ a ≠0 ）的一个解 x 的范围是（ ）

A ． 2.1 ＜ x ＜ 2.2 B ． 2.2 ＜ x ＜ 2.3 C ． 2.3 ＜ x ＜ 2.4 D ． 2.4 ＜ x ＜ 2.5

若关于 x 的一元二次方程 有两个实数根，则 k 的取值范围是（）

A ． B ． C ． D ．

如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ， M 为边 AB 的 M 中点，若 MO ＝ 4cm ，则菱形 ABCD 的周长为（　　）

A ． 32cm B ． 24cm C ． 16cm D ． 8cm

如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，设道路的宽 x 米．则可列方程为（　　）

A ． 32×20 ﹣ 32 x ﹣ 20 x ＝ 540 B ． （ 32 ﹣ x ）（ 20 ﹣ x ）＝ 540

C ． 32 x +20 x ＝ 540 D ． （ 32 ﹣ x ）（ 20 ﹣ x ） + x ² ＝ 540

下列叙述，错误的是（　　）

A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形

D ．对角线互相垂直的四边形是菱形

如图，在 ▱ ABCD 中，用直尺和圆规作 ∠ BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E ，若 BF ＝ 6 ， AB ＝ 5 ，则 AE 的长为（　　）

A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ． 10

如图，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上的一点， BE ＝ 4 ， EC ＝ 8 ，将正方形边 AB 沿 AE 折叠到 AF ，延长 EF 交 DC 于 G ，连接 AG ，现在有如下结论： ①∠ EAG ＝ 45° ； ② FG ＝ FC ； ③ FC ∥ AG ； ④ S _{△ GFC} ＝ 14 ．其中结论正确的个数是（　　）

A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4

一元二次方程 3x （ x ﹣ 3 ）＝ 2x ² ﹣ 1 化为一般形式为 _____ ．

已知关于 x 的一元二次方程 x ² +mx+1=0 有两个相等的实数根，则 __________ ．

方程 x ² +2 x –2=0 配方得到（ x + m ） ² =3 ，则 m = __________ ．

给出以下 4 个图形： ① 等边三角形， ② 平行四边形， ③ 菱形， ④ 正方形．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 _____ ．（填写序号）

如图，两条宽都为 4cm 的纸条交叉成 45° 角重叠在一起，则重叠四边形的面积为 _______________cm ² ．

如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB ' C ' D ' 的位置，旋转角为 α （ 0° ＜ α ＜ 90° ），若 ∠1 ＝ 112° 则 ∠α 的度数是 ______ ．

在菱形 ABCD 中， AB ＝ 5 ， BD ＝ 8 ， P 为对角线 BD 上的一个动点，过点 P 分别作 AD 、 AB 边的垂线，垂足分别为 E 、 F 两点，连接 PE ， PF ，则 PE + PF ＝ __________________ ．

解方程： x ² +8 x ＝ 1 ．

已知：关于 x 的方程 x ² +kx ﹣ 2=0

① 求证：方程有两个不相等的实数根；

② 若方程的一个根是﹣ 1 ，求另一个根及 k 值．

如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，过点 C 作 CE / BD ，过点 D 作 DE // AC ， CE 与 DE 相交于点 E ．

（ 1 ）求证：四边形 CODE 是菱形；

（ 2 ）若 AB ＝ 6 ， ∠ AOB ＝ 60° ，求四边形 CODE 的周长．

如图，在平行四边形 ABCD 中， AE ⊥ BC ， CF ⊥ AD ， E ， F 分别为垂足．

（ 1 ）求证： △ ABE ≌△ CDF ；

（ 2 ）求证：四边形 AECF 是矩形．

某商场今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品．当商品售价为 40 元时，三月份销售 100 件，四、五月份该商品的销售量持续走高，在售价不变的前提下，五月份的销量达到 144 件．假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变．

（ 1 ）求四、五两个月销售量的月平均增长率；

（ 2 ）从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降 1 元，销售量增加 2 件，当商品降价多少元时，商场可获利 1800 元？

阅读材料：若 m ² +2 mn +2 n ² ﹣ 6 n +9 ＝ 0 ，求 m 和 n 的值．

解： ∵ m ² +2 mn +2 n ² ﹣ 6 n +9 ＝ 0

∴ m ² +2 mn + n ² + n ² ﹣ 6 n +9 ＝ 0

∴ （ m + n ） ² + （ n ﹣ 3 ） ² ＝ 0

∴ m + n ＝ 0 且 n ﹣ 3 ＝ 0

∴ m ＝﹣ 3 ， n ＝ 3

根据你的观察，探究下面的问题：

（ 1 ）若 x ² +2 xy +2 y ² ﹣ 2 y +1 ＝ 0 ，求 x 、 y 的值；

（ 2 ）已知 a ， b ， c 是 △ ABC 的三边长，满足 a ² + b ² ＝ 10 a +12 b ﹣ 61 ，且 △ ABC 是等腰三角形，求 c 的值．

如图， △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AC ＝ 8cm ， BC ＝ 6cm ，动点 D 从点 A 出发以 4cm/s 速度向点 C 移动，同时动点 E 从 C 出发以 3cm/s 的速度向点 B 移动，设它们的运动时间为 t s ．

（ 1 ）根据题意知： CE ＝ ， CD ＝ ；（用含 t 的代数式表示）

（ 2 ） t 为何值时， △ CDE 的面积等于四边形 ABED 的面积的 ？

（ 3 ）点 D 、 E 运动时， DE 的长可以是 4cm 吗？如果可以，请求出 t 的值，如果不可以，请说明理由．

如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中， E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点（与点 A 、 D 不重合），射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q ．

（ 1 ）求证： ；

（ 2 ）过点 E 作 交 PB 于点 F ，连结 AF ，当 时， ① 求证：四边形 AFEP 是平行四边形；

② 请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由．