题目

过抛物线y2=2x的顶点作互相垂直的两弦OA、OB.(1)求AB中点的轨迹方程;(2)证明AB过定点. 答案：思路分析:(1)AB的中点由A、B确定,而A、B由OA的斜率确定,可通过参数求轨迹方程;(2)只要写出直线AB的方程,即能看出过定点.解:(1)设直线OA:y=kx,则OB:y=-x.由A();用-代替k得B(2k2,-2k).设AB的中点坐标为(x,y),则y2=x-2,这就是所求AB中点的轨迹方程.(2)由(1)中A、B两动点坐标先求出AB斜率为,∴AB:y+2k=(x-2k2),即y=x--2k,y=x-.∴y=(x-2)如图，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上，G，F分别在AB，AC边上，BC=5cm，S△ABC=30cm2，AB为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形GDEF的最大面积．