第二十八章锐角三角函数知识点题库

已知 $\text{[math]}$ 两直角边的长分别是方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，且 $\text{[math]}$ 的最小角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是．

问题发现：如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，

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（1）填空： $\text{[math]}$ 的值为； ∠AMB的度数为,
（2）类比探究，如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断 $\text{[math]}$ 的值及∠AMB的度数，并说明理由：

如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2 $\text{[math]}$ ，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，求 AF长。

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ .边 $\text{[math]}$ 在x轴上，顶点 $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .将正方形 $\text{[math]}$ 沿x轴向右平移当点E落在 $\text{[math]}$ 边上时，点D的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

（1）（阅读与证明）
如图1，在正 $\text{[math]}$ 的外角 $\text{[math]}$ 内引射线 $\text{[math]}$ ，作点C关于 $\text{[math]}$ 的对称点E（点E在 $\text{[math]}$ 内），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点F、G．

①完成证明： $\text{[math]}$ 点E是点C关于 $\text{[math]}$ 的对称点，

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 正 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

②求证： $\text{[math]}$ ．
（2）（类比与探究）
把（1）中的“正 $\text{[math]}$ ”改为“正方形 $\text{[math]}$ ”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：

① $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

②线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间存在数量关系．
（3）（归纳与拓展）
如图3，点A在射线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 内引射线 $\text{[math]}$ ，作点C关于 $\text{[math]}$ 的对称点E（点E在 $\text{[math]}$ 内），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点F、G．则线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为．

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h.如图，在一条笔直公路l的旁边A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD=32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°.(sin28°≈ $\text{[math]}$ ，cos28°≈ $\text{[math]}$ ，tan28°≈ $\text{[math]}$ )

（1）求CD，BD的长度.
（2）通过计算，判断此轿车是否超速.

如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由 $\text{[math]}$ 降为 $\text{[math]}$ ，已知原滑滑梯 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在同一水平地面上.

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（1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到 $\text{[math]}$ ）
（2）若滑滑梯的正前方能有 $\text{[math]}$ 长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有 $\text{[math]}$ 长的空地，像这样改造是否可行？说明理由.（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

如图，垂直于地面的灯柱 $\text{[math]}$ 被一钢缆 $\text{[math]}$ 固定，现需要在点C的上方 $\text{[math]}$ 的E处增加一条钢缆 $\text{[math]}$ 进行加固．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长（结果取整数）．参考数据： $\text{[math]}$ ．

如图，航拍无人机在 $\text{[math]}$ 处测得正前方某建筑物顶部处 $\text{[math]}$ 的仰角为45°，测得底部 $\text{[math]}$ 的俯角为31°.此时航拍无人机距地面 $\text{[math]}$ 的高度为12米，求该建筑物的高度 $\text{[math]}$ （结果保留整数）.（参考数据： $\text{[math]}$ .）

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在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，若AB=2 $\text{[math]}$ ，求AC的长．

阅读理解：

如果一个等腰三角形的三个顶点在矩形的边上或矩形的边所在的直线上，我们称这个等腰三角形为这个矩形的“友好三角形”.

解决问题：

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是对角线，点E为直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点E作 $\text{[math]}$ 平行 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 于F，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .

（1）若点E在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，以下三角形：① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$ ，其中为矩形 $\text{[math]}$ 的“友好三角形”的是（填序号）；
（2）当 $\text{[math]}$ 时，试判断 $\text{[math]}$ 是否为矩形 $\text{[math]}$ 的“友好三角形”？请说明理由；
（3）当 $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 的“友好三角形”时，求 $\text{[math]}$ 的长.

在同一平面内，如果仅原点重合的两条数轴不垂直，我们将这样的坐标系称为斜坐标系.如图1，若点P是斜坐标系 $\text{[math]}$ 中任意一点，过点Р分别作两坐标轴的平行线，与x轴，y轴交于点M，N，如果点M，N对应的实数为a，b，则点P的坐标为 $\text{[math]}$ .

（1）如图1，点E在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$
（2）如图2，在斜坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线l与x轴，y轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
①若点 $\text{[math]}$ 是直线l上一点，请写出y关于x的关系式，并就点Q在BA延长线上时的情况进行证明；

②若x轴与y轴的夹角 $\text{[math]}$ ，经过原点О的直线m交直线l于点F，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点F的坐标.

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

（1）试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由．
（2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

（1）计算： $\text{[math]}$
（2）计算： $\text{[math]}$
（3）解方程： $\text{[math]}$
（4）解方程： $\text{[math]}$

如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔的高度，在古塔左侧的A点处测得古塔顶端D的仰角为30°，然后向古塔底端C前进30米到达点B处，测得古塔顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一水平直线上，求古塔CD的高度．

如图，某山的斜坡AB的长为300米，坡角∠BAC＝37°，则该斜坡的高BC的长为米（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.

如图1，⊙O的弦BC=6，A为BC所对优弧上一动点且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E.

（1）求证：点P为 $\text{[math]}$ 的中点；
（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；
（3）若 $\text{[math]}$ 不是锐角三角形，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

如图，某海域有一小岛P，一艘轮船在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当轮船自西向东航行12海里到达B处，在B处测得小岛P位于北偏东30°方向上，若以点P为圆心，半径为10海里的圆形海域内有暗礁，那么轮船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．（参考数据： $\text{[math]}$ ）．

无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼 $\text{[math]}$ 楼顶D处的俯角为 $\text{[math]}$ ，测得楼 $\text{[math]}$ 楼顶A处的俯角为 $\text{[math]}$ .已知楼 $\text{[math]}$ 和楼 $\text{[math]}$ 之间的距离 $\text{[math]}$ 为100米，楼 $\text{[math]}$ 的高度为10米，从楼 $\text{[math]}$ 的A处测得楼 $\text{[math]}$ 的D处的仰角为 $\text{[math]}$ （点A，B，C，D、P在同一平面内）.

（1）填空： $\text{[math]}$ 度， $\text{[math]}$ 度；
（2）求楼 $\text{[math]}$ 的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面 $\text{[math]}$ 的高度.

第二十八章 锐角三角函数 知识点题库

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