2021年北京市中考数学真题含详解

如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）

A ．长方体 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．三棱柱

党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务． 年，中央财政累计投入 “ 全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件 ” 专项补助资金 1692 亿元，将 169200000000 用科学记数法表示应为（    ）

A ． B ． C ． D ．

如图，点 在直线 上， ．若 ，则 的大小为（ ）

A ． B ． C ． D ．

下列多边形中，内角和最大的是（ ）

A． B ．

C ． D ．

实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A ． B ． C ． D ．

同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）

A ． B ． C ． D ．

已知 ．若 为整数且 ，则 的值为（ ）

A ． 43 B ． 44 C ． 45 D ． 46

如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）

A ．一次函数关系，二次函数关系 B ．反比例函数关系，二次函数关系

C ．一次函数关系，反比例函数关系 D ．反比例函数关系，一次函数关系

计算： ．

解不等式组：

已知 ，求代数式 的值．

《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为 10 步（步是古代的一种长度单位），在点 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点 处的杆的影子的方向取一点 ，使 两点间的距离为 10 步，在点 处立一根杆．取 的中点 ，那么直线 表示的方向为东西方向．

（ 1 ）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点 的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作 的中点 （保留作图痕迹）；

（ 2 ）在如图中，确定了直线 表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 表示的方向为南北方向，完成如下证明．

证明：在 中， ______________ ， 是 的中点，

（ ______________ ）（填推理的依据）．

∵ 直线 表示的方向为东西方向，

∴ 直线 表示的方向为南北方向．

已知关于 的一元二次方程 ．

（ 1 ）求证：该方程总有两个实数根；

（ 2 ）若 ，且该方程的两个实数根的差为 2 ，求 的值．

如图，在四边形 中， ，点 在 上， ，垂足为 ．

（ 1 ）求证：四边形 是平行四边形；

（ 2 ）若 平分 ，求 和 的长．

在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象向下平移 1 个单位长度得到．

（ 1 ）求这个一次函数的解析式；

（ 2 ）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出 的取值范围．

如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 于点 ．

（ 1 ）求证： ；

（ 2 ）连接 并延长，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．若 的半径为 5 ， ，求 和 的长．

为了解甲､乙两座城市的邮政企业 4 月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25 家邮政企业，获得了它们 4 月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．

．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5 组： ）：

．甲城市邮政企业 4 月份收入的数据在 这一组的是： 10.0 ， 10.0 ， 10.1 ， 10.9 ， 11.4 ， 11.5 ， 11.6 ， 11.8

．甲､乙两座城市邮政企业 4 月份收入的数据的平均数､中位数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（ 1 ）写出表中 的值；

（ 2 ）在甲城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．在乙城市抽取的邮政企业中，记 4 月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 ．比较 的大小，并说明理由；

（ 3 ）若乙城市共有 200 家邮政企业，估计乙城市的邮政企业 4 月份的总收入（直接写出结果）．

在平面直角坐标系 中，点 和点 在抛物线 上．

（ 1 ）若 ，求该抛物线的对称轴；

（ 2 ）已知点 在该抛物线上．若 ，比较 的大小，并说明理由．

如图，在 中， 为 的中点，点 在 上，以点 为中心，将线段 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．

（ 1 ）比较 与 的大小；用等式表示线段 之间的数量关系，并证明；

（ 2 ）过点 作 的垂线，交 于点 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 中， 的半径为 1 ，对于点 和线段 ，给出如下定义：若将线段 绕点 旋转可以得到 的弦 （ 分别是 的对应点），则称线段 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ．

（ 1 ）如图，点 的横､纵坐标都是整数．在线段 中， 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” 是 ______________ ；

（ 2 ） 是边长为 1 的等边三角形，点 ，其中 ．若 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ，求 的值；

（ 3 ）在 中， ．若 是 的以点 为中心的 “ 关联线段 ” ，直接写出 的最小值和最大值，以及相应的 长．

若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 _______________ ．

分解因式： ______________ ．

方程 的解为 ______________ ．

在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经过点 和点 ，则 的值为 ______________ ．

如图， 是 的切线， 是切点．若 ，则 ______________ ．

如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 ______________ （写出一个即可）．

有甲､乙两组数据，如表所示：

甲､乙两组数据的方差分别为 ，则 ______________ （填 “ ＞ ” ， “ ＜ ” 或 “ ＝ ” ）．

某企业有 两条加工相同原材料的生产线．在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时间为 小时．第一天，该企业将 5 吨原材料分配到 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到 生产线的吨数与分配到 生产线的吨数的比为 ______________ ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5 吨原材料后，又给 生产线分配了 吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 ______________ ．