初中数学2020年年末周练知识点——二次函数与一元二次方程训练题（一）【含详解】

已知二次函数，若，是关于的方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（   ）

A．＜＜＜                                       B．＜＜＜

C．＜＜＜                                       D．＜＜＜

二次函数y＝ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁＜x₂，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（    ）

A．当n＜0时，m＜0                                    B．当n＞0时，m＞x₂

C．当n＜0时，x₁＜m＜x₂                             D．当n＞0时，m＜x₁

已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A,B两点（A在原点O左侧，B在原点O右侧)，与y轴交于C点，且OC=OB,令=m，则下列m与b的关系式正确的是(   )

A．m=                    B．m=b+1                   C．m=                    D． m=+1

若数a使二次函数的图像与y轴的交点坐标为正数，且使关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数a的取值的和是（    ）

A．-1                          B．0                           C．1                           D．2

若二次函数的图象与直线有两个交点，则k的取值（    ）

A．            B．或    C．或    D．且

抛物线与轴的交点坐标是（    ）

A．（0，2）                B．（，0）             C．（2，0）                 D．（0，）

如图，二次函数（）的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程（）有一个根为，其中正确的结论个数有（    ）

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

若关于的方程没有实数根，则函数的图象的顶点一定在（    ）

A．轴的上方           B．轴下方               C．轴上                   D．轴上

已知关于的一元二次方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则抛物线的顶点坐标是（    ）

A．                   B．                 C．                   D．

已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下：

则关于的方程的解是（    ）

A．，                                        B．

C．                                              D．不能确定

抛物线与轴有交点，则的取值范围是（    ）

A．                  B．                  C．                  D．

抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是x＝1．下列结论中：①abc<0；②2a＋b＝0；③3a+c>0；④关于x的方程ax²＋bx＋c-2＝0有两个不相等的非零实数根m、n（m＜n）则-2< m＜n<4；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am²＋bm≤a＋b；其中正确的有（　　）

A．5个                       B．4个                       C．3个                       D．2个

已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示：

则方程的根是（    ）．

A．0或4                                                       B．或

C．或                                          D．无实根

已知二次函数y＝x²－2ax+a²－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，则a的取值范围是（       ）

A．a＞－2                  B．a≥－2                    C．a＜－2                   D．a≤－2

二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论中：①；②；③关于的方程无实数根．正确的结论有（    ）

A．0个                       B．1个                       C．2个                       D．3个

若抛物线（是常数）的顶点在轴上，则的值是（    ）

A．                     B．                        C．                        D．

已知二次函数（其中是自变量）的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ）

A．                   B．                 C．            D．

如果抛物线的顶点在轴上，那么的值是（    ）

A．                        B．                          C．                          D．

已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①a<0，，b<0 ；② b²-4ac>0；③a+b>am²+bm；④b+2a=0；⑤-a+c>0 正确的有(    )

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

抛物线y＝x²+kx﹣1与坐标轴交点的个数为（　　）

A．0个                       B．1个                       C．2个                       D．3个

二次函数的图象与轴的交点个数是（    ）

A．1个                       B．2个                       C．0个                       D．无法确定

二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则下列结论正确的是（    ）

A．       B．       C．       D．

对于二次函数（，是常数）中自变量与函数的部分对应值如下表：

下列结论正确的是（　　）

A．函数图象开口向下                                  

B．当时，

C．当时，随的增大而增大            

D．方程有两个不相等的实数根

已知二次函数的图象如图所示，下列结论：

①；

②；

③方程有两个相等的实数根；

④方程的两根是，

其中正确的结论有（    ）个．

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

抛物线与轴的交点个数为 （    ）

A．0个                       B．1个                       C．2个                       D．3个

一条抛物线的顶点为，，且与轴有两个交点，其中一个交点是，则对、、描述正确的是（    ）．

A．、、                              B．、、

C．、、                              D．、、

如图，是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；m+n＝3；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1x4时，有y₂y₁；⑤若ax₁²+bx₁＝ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂＝1．正确的为（　　）

A．①④⑤                  B．①③④                   C．①③⑤                  D．①②③

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：下列结论错误的是（    ）

A．a>0

B．若点（－8，y₁），点（8，y₂）在二次函数图象上，则y₁＜y₂

C．当x＝－2时，函数值最小，最小值为－6

D．方程ax²+bx+c＝－5有两个不相等的实数根．

若关于x的不等式组有解，则函数图象与x轴的交点个数为（ ）

A．0个                       B．1个                       C．2个                       D．1或2个

如图所示，二次函数的图像与轴的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程的解为（    ）

A．     B．      C．       D．

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y₁)是该抛物线上一点，若点D(x₂，y₂)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y₂＞y₁，则x₂＞4；③若0≤x₂≤4，则0≤y₂≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x₁和x₂，且x₁＜x₂，则﹣1＜x₁＜x₂＜3．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

已知二次函数的图象如图所示，下列结论中正确的个数是（ ）

①；②；③；④；⑤（为实数，且）

A．2个                       B．3个                       C．4个                       D．5个

已知二次函数自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则下列说法正确的是（　　）

A．抛物线开口向下

B．对称轴是直线

C．在对称轴左侧y随x的增大而减小

D．一元二次方程（a为常数，且）的根为

已知抛物线（a＜0）的对称轴为 x＝－1，与 x 轴的一个交点为（3，0）．若关于 x 的一元二次方程 （p＞0）有整数根，则p的值有（  ）

A．4个                       B．3个                       C．7个                       D．5个

对于抛物线y＝ax²+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(x₂，0)，则下列说法：

①一元二次方程ax²+4ax﹣m＝0的两根为x₁＝﹣1，x₂＝﹣3；

②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；

③点E(1，y₁)、点F(﹣4，y₂)在原抛物线上，则y₁＞y₂；

④抛物线y＝﹣ax²﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（　　）

A．4个                       B．3个                       C．2个                       D．1个

二次函数与的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ）

A．                    B．                   C．且     D．且

如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax²+bx+c＝0（a≠0）有一个根为﹣；其中正确的结论个数有（　　）

A．1个                       B．2个                       C．3个                       D．4个

已知关于x的方程(k-1)x²+（2k-1）x+2＝0．

（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

（2）当抛物线y＝(k-1)x²+（2k-1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象确定实数a的取值范围．

（3）已知抛物线y＝(k-1)x²+（2k-1）x+2恒过定点，求出定点坐标

某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；

（2）观察函数图象，写出2条函数的性质__________________；

（3）进一步探究函数图象发现：

①方程的实数根为____________；

②方程有____________个实数根．

③关于的方程有4个实数根时，的取值范围____________．

如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．

（1）直接写出、的值；

（2）求二次函数的图象与轴的交点，的坐标；

（3）在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为．

①用含的代数式表示线段的长．

②连接，，求的面积最大时点的坐标．

已知一个二次函数的图象与轴的交点为（，0），（4，0），且顶点在函数的图象上．求这个二次函数的表达式．．

已知，平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点A、B，取y轴上一点，连接；

（1）如图1，求直线解析式；

（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，取上一点D，x轴上一点E，连接，设P点横坐标为t，若，求证：；

（3）如图3．在（2）的条件下，连接、，且，，连接，若，求的值．

已知二次函数（是常数）．

（1）求证：无论取何值，二次函数（是常数）的图象与轴都有两个不同的交点；

（2）选取一个你喜欢的整数的值，若二次函数（是常数）的图象与轴的交点为，，求两点之间的距离．

已知抛物线y=x²-4x+3与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，求这三个交点的坐标，求出顶点坐标，并直接写出当x²-4x+3＞0时，x的取值范围．

已知二次函数y=kx²﹣2x﹣1的图像与x轴有两个不同的交点，求实数k的取值范围．

已知抛物线，直线与x轴交于点M，与y轴交于点N．

（1）求证：抛物线与x轴必有公共点；

（2）若抛物线与x轴交于A、B两点，且抛物线的顶点C落在此直线上，求的面积；

（3）若线段与抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围．

己知点在抛物线上，直线过点A．

（1）当时，求b的值；

（2）若抛物线C与直线L有且只有一个交点．

①求m关于a的关系式；

②点B为直线L与抛物线C的对称轴的交点，求线段AB长的取值范围．

已知抛物线y=a(x-3)²+4经过点(1，0)．

(1)求a的值；

(2)在方格纸中画出y=a(x-3)²+4的图像

(3)根据图像写出方程a(x-3)²+4=0的解，和不等式a(x-3)²+4<0的解集

已知抛物线与x轴有两个不同的交点A、B，顶点为P．

（1）求m的取值范围．

（2）若，求顶点P的坐标．

若三个非零实数，，满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数，，构成“和谐三组数”．

（1）实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；

（2）若直线与轴交于点，与抛物线交于，两点．

①求证：，，三点的横坐标，，构成“和谐三组数”；

②若，，求点与原点的距离的取值范围．

已知点在抛物线上，若以为圆心的圆与轴有两个交点，且两点的横坐标是关于的方程的两根．

（1）当在抛物线上运动时，在轴上截得的弦长是否变化？为什么？

（2）若与轴的两个交点和抛物线的顶点构成一个等腰三角形，试求的值．

如图，抛物线与直线相交于点，，与相交于点，其中点的横坐标为．

（1）计算，的值；

（2）求出抛物线与轴的交点坐标，并根据图象写出取什么值时，．

（1）求出抛物线与轴，轴的交点坐标；

（2）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，求出该抛物线的函数关系表达式．

已知二次函数的图象与轴有公共点．

（1）求的取值范围；

（2）当为正整数时，求此时二次函数与轴的交点坐标．

已知抛物线（，是常数，且），过点．

（1）求的值，并判断当时，点是否在该抛物线上．

（2）若该抛物线与轴只有一个交点，求的值．

已知二次函数y=x²+2mx+m²-3（m是常数）．

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个不同的公共点；

（2）当m=1时，该函数的图像沿y轴向上平移h个单位长度后，得到的函数图像与x轴只有一个公共点，则h=      ，所得新抛物线的解析式为      ．

抛物线顶点坐标是且经过点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．

如图，二次函数y＝－x²+bx的图像与x轴负半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧）与抛物线对称轴交于点D（－3，5）．

（1）求b的值；

（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P’（x₁，y₁）、Q’（x₂，y₂）若|y₁－y₂|＝4求x₁，x₂的值．

某桶装水经营部销售一种桶装水，已知该水的进价是5元/桶，规定销售单价不高于12元/桶，也不低于7元/桶，经营部每天的房租、人员工资等固定成本为1000元．调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）满足函数关系．请解答下列问题：

（1）若该经营部希望日均纯利润为600元，那么销售单价应定为多少？

（2）设日均纯利润为元，那么销售单价定为多少元时，可获得最大日均纯利润，最大日均纯利润多少元？

关于x的二次函数与x轴有交点．

（1）求a的取值范围；

（2）当时，求抛物线与x轴两个交点间的距离．

在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于两点（点在点的左侧）

（1）求点和点的坐标；

（2）若点是抛物线上的一点，当时，的取值范团是，求抛物线的解析式．

二次函数y＝x²+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x²+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是_______．

二次函数与y轴交点的坐标为_________。

设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是______．

抛物线y＝ax²+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程的解是________________．

若抛物线 的图像与轴有交点，那么的取值范围是________.

已知二次函数y=x²+x+m，当x取任意实数时，都有y＞0，则m的取值范围是________．

如图所示为抛物线，则一元二次方程两根为______．

如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程的解是___________．

已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____．

已知：二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示，那么方程（，，，为常数）的根是________．

抛物线与轴的两个交点为、，则线段的长度是______．

二次函数的图像与轴的交点坐标是_________

二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且，则a，b，m，n四个数的大小关系是________（用<号连接）

二次函数（，，为常数，且）中的与的部分对应值如右表：

下列结论：①；

②当时，的值随值的增大而减小；

③当时，函数有最值；

④3是方程的一个根；

⑤当时，．其中正确的结论是______．

如图，在直角坐标系中，点A，C在x轴上，且，，，抛物线经过坐标原点O和点A，若将点B向右平移5个单位后，恰好与抛物线的顶点D重合，则抛物线的解析式为_______．

已知二次函数y＝－x²－2x+m图像的顶点在x轴上，则m＝__________．

已知二次函数y＝－x²＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x²＋2x＋m＝0的一个解为3，则另一个解为__________，m=__________．

二次函数y=x²+bx﹣2（b为常数）的图象与x轴有_______个交点．

已知二次函数的图象与轴只有一个交点．请写出 一组满足条件的的值：__________，_________________

如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C₁，它与x轴交于点O，A₁；将C₁绕点A₁旋转180°得C₂，交x轴于点A₂；如此进行下去，直至得C₁₃．若P（37，m）在第13段抛物线C₁₃上，则m＝_____．

已知抛物线与轴相交于点，（点在点左侧），顶点为平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为______．

抛物线与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的根为__________．

若抛物线与坐标轴有两个交点，则应满足的条件是_______．

关于的一元二次方程的一个解是，则抛物线与轴的交点坐标是____．

二次函数的图象如图，则方程的解为_______．

二次函数y=ax²+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表，则关于x的方程ax²+bx+c=0的解是_____．

如图是二次函数y＝ax²+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax²+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax²+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的结论有_____（填上序号即可）

如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有________________．

抛物线y＝x²+2x-3与x轴的交点坐标为____________________．

已知抛物线与轴交于点且，则__________．

若函数y=mx²+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为___．

公园广场前有一喷水池，喷水头位于水池中央，从喷头喷出水珠的路径可近似看作抛物线．如图是根据实际情境抽象出的图象，水珠在空中划出的曲线恰好是抛物线（单位：m）的一部分，则水珠落地点（点P）到喷水口（点O）的距离为________m．

已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是________．

二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根是____________．

对任意实数a，若多项式a²+2ba﹣3c的值都是非负数，则代数式b+c最大值为_____．

已知二次函数y＝x²+bx的最小值为﹣4，若关于x的方程x²+bx﹣2m＝0有实数根，则m的取值范围是_____．

已知自变量为的二次函数经过两点，若方程的一个根为，则其另一个根为__________．

函数y＝2x²﹣3x+1与y轴的交点坐标为_____，与x轴的交点的坐标为____，_____．