2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何综合检测（三）试题含答案解析

如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．

(1)求直线AD与平面PBC的距离；

(2)若AD＝，求二面角A­EC­D的平面角的余弦值．

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.

(1)证明：D′H⊥平面ABCD；

(2)求二面角B­D′A­C的正弦值．

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

如图，在棱长为1的正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上一点，CP＝m，试确定m使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角为60°.

如图所示，在四棱锥M­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且AM和AB，AD的夹角都是60°，N是CM的中点，设a＝，b＝，c＝，试以a，b，c为基向量表示出向量，并求BN的长．

设a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．

(1)当(a＋b)∥(a－3b)时，求的值；

(2)当(a－3b)⊥(a＋b)时，求的值．

如图，已知二面角α­l­β的平面角为θ，AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面β内，BC在l上，CD在平面α内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．

在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD-A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．

已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c共面，则λ＝__________．

若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________．

已知正四棱锥S­ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与平面SBC所成的角的余弦值为(　　)

A．                            B．

C．                              D．

如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，AB＝BC＝AA₁，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB₁的中点，则直线EF与BC₁所成的角是(　　)

A．45°                              B．60°

C．90°                              D．120°

如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足，则的值为(　　)

A．                               B．3

C．                               D．

对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则(　　)

A．四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

将图①中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图②)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A．相交且垂直                        B．相交但不垂直

C．异面且垂直                        D．异面但不垂直

已知a，b是两条异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)

A．30°                              B．60°

C．90°                              D．45°

在正方体ABCD­A₁B₁C₁D₁中，若E为A₁C₁的中点，则与直线CE垂直的直线是(　　)

A．AC                                B．BD

C．A₁D                               D．A₁A

两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　)

A．                               B．

C．                              D．3

已知A(1，2，1)，B(－1，3，4)，C(1，1，1)，，则为(　　)

A．                            B．

C．                            D．

若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，a，b夹角的余弦值为，则λ＝(　　)

A．2　　　　　　　　　　　           B．－2

C．－2或                         D．2或－

若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)

A．a＝(1，0，1)，n＝(－2，0，0)

B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)

C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)

D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)

下列说法中不正确的是(　　)

A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B．一个平面的所有法向量互相平行

C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量