河北省各市区中校2020-2021学年高二下学期数学期中试题含详解

复数 的虚部为（ ）

A ． B ． C ． D ．

下列几何体中，棱的条数最多的是（ ）

A ．四棱柱 B ．五棱柱 C ．五棱锥 D ．六棱锥

（ ）

A ． B ． C ． D ．

下列命题中是假命题的是（ ）

A ．圆柱的任意两条母线平行 B ．棱台各侧棱的延长线交于一点

C ．经过圆锥侧面上一点，有无数条母线 D ．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱

已知向量 ， ，且 与 共线，则 （ ）

A ． B ． C ． 1 D ． 2

如图，一个水平放置的平面图形的直观图 为直角梯形，其中 ， ，则原平面图形的面积为（ ）

A ． B ． C ． 6 D ． 3

已知复数 ，且 ，则 （ ）

A ． B ． 256 C ． D ． 512

有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石凳如图所示，它是一个棱数为 24 的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为 ，则该石凳的表面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．

复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）

A ． B ． C ． D ．

下列命题正确的是

A ． 在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行

B ． 一条直线与一个平面可能有无数个公共点

C ． 经过空间任意三点可以确定一个平面

D ． 若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

已知某圆锥的侧面展开图是半径为 2 的半圆，则该圆锥的表面积为（    ）

A ． B ． C ． D ．

已知在 中， ，若 ，则 （ ）

A ． B ． 1 C ． D ．

一艘游船从海岛 A 出发，沿南偏东 的方向航行 8 海里后到达海岛 B ，然后再从海岛 B 出发，沿北偏东 的方向航行了 16 海里到达海岛 C ，若游船从海岛 A 出发沿直线到达海岛 C ，则航行的路程（单位：海里）为（ ）

A ． 12 B ． C ． D ．

如图，在长方体 中， ， ， M 为棱 上的一点．当 取得最小值时， 的长为（ ）

A ． B ． C ． D ．

平面向量 与 的夹角为 60° ， ， ，则 等于

A ． B ． C ． 4 D ． 12

已知三棱锥 中， 面 ABC ，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， ，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．

在 中， ，则下列 的长度能使该三角形有两解的是（ ）

A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6

已知复数 z 满足 ，则（ ）

A ． B ． C ． D ．

如图所示的圆锥的底面半径为 3 ，高为 4 ，则（    ）

A ．该圆锥的母线长为 5 B ．该圆锥的体积为

C ．该圆锥的表面积为 D ．三棱锥 体积的最大值为 12

我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副 “ 勾股圆方图 ” ，后人称其为 “ 赵爽弦图 ” ．如图，大正方形 由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为 1 ， E 为 的中点，则（ ）

A ． B ． C ． D ．

三棱锥 中， ，且 与 所成角为 ， E ， F 分别是棱 DC ， AB 的中点，则线段 EF 的长可能等于（ ）

A ． B ． C ． D ．

在 中， ， ， ，则下列结论正确的是（ ）

A ． B ．

C ． D ．

在 中，给出下列 4 个命题，其中正确的命题是（    ）

A ．若 ，则

B ．若 是锐角三角形，则不等式 恒成立

C ．若 ，则 定为等腰三角形

D ．若 ，则 定为直角三角形

如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 、 ，且 则下列结论中正确的是（ ）

A ． B ． 平面

C ．三棱锥 的体积为定值 D ． 的面积与 的面积相等

已知 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 ．若 ，则 _____ ； 的最大值为 _____ ．

若虚数 z 的实部不为 0 ，且 ，则 _______ ．（写出一个即可）

已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角为 _______ ．

如图，在正四棱锥 中，侧棱长均为 4 ，且相邻两条侧棱的夹角为 分别是线段 上的一点，则 的最小值为 _______ ．

某三棱台的各顶点都在一个半径为 6 的球面上，其上、下底面分别是边长为 和 的正三角形，则该三棱台的体积为 ______.

附： ，其中 ， 分别为台上下底面的面积， 为棱台的高 .

已知复数 ，且 是纯虚数，复数 ______.

若水平放置的四边形 AOBC 按 “ 斜二测画法 ” 得到如图所示的直观图，其中 ， ， ， ，则原四边形 AOBC 的面积为 ______.

正方体 的棱长为 ， 为 的中点， 为 的中点， 为线段 上的动点，过点 、 、 的平面截该正方体所得的截面记为 ， 当 时， 与 的交点为 ，求线段 的长度 ______.

已知复数 ．

（ 1 ）若 ，求 m 的值；

（ 2 ）若 z 在复平面内对应的点在第二象限，求 m 的取值范围．

已知向量 ．

（ 1 ）若 ，求 与 的夹角的余弦值；

（ 2 ）若 ，求 的值．

如图，在长方体 中， ．

（ 1 ）若该长方体被过顶点 的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；

（ 2 ）若该长方体的所有顶点都在球 O 的球面上，求球 O 的体积．

已知复数 ，其中 ．

（ 1 ）若 是纯虚数，求 m 的值．

（ 2 ） 能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由．

在 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 ．

（ 1 ）若 ，求 的值；

（ 2 ）若 ，判断 的形状．

如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为 2 的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的 “ 正子体 ” ．

（ 1 ）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求该八面体的表面积．

（ 2 ）此正子体的表面积 S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出表面积的取值范围．

已知复数 （ ， 是虚数单位）．

（ 1 ）若 是纯虚数，求实数 的值；

（ 2 ）设 是 的共轭复数，复数 在复平面上对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围．

已知平面直角坐标系内三点 A 、 B 、 C 在一条直线上，满足 ， ， ，且 ，其中 O 为坐标原点 .

（ 1 ）求实数 m 、 n 的值；

（ 2 ）若点 A 的纵坐标小于 3 ，求 的值 .

在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 .

（ 1 ）求角 的值；

（ 2 ）若 ， 的外接圆半径为 ，求 的面积 .

如图，在正三棱柱 中， ， 的边长为 6 ， D ， E 分别是 ， 的中点．

（ 1 ）求证： 平面 ；

（ 2 ）求三棱锥 的体积．

某市规划一个平面示意图为如下图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道， ED ， DC ， CB ， BA ， AE 为赛道 不考虑宽度 ， BE 为赛道内的一条服务通道， ， ， .

（ 1 ）求服务通道 BE 的长度；

（ 2 ）若 在 方向上的投影向量为 ，应如何设计 BA 与 AE 的长度，才能使折线段赛道 BAE 最长？

如图，在四棱锥 中， 平面 PDC ，四边形 ABCD 是一个直角梯形， ， ， .

（ 1 ）求证： CD ⊥ 平面 PBD ；

（ 2 ）若 ，且 ，求三棱锥 的侧面积 .